固定ページによってテンプレートを変えたい場合は、デフォルトとは別にテンプレートを作成しファイルの文頭にTemplate Nameを記述します。
新しく制作するテンプレートのファイル名は、何でも良さそうですが固定ページなのでpage_から始めた方が分かりやすいです。
Template Name
<?php /* Template Name: デモ用 */ ?>
テンプレートファイルを作ってアップロード
新しいテンプレートを作ってデフォルトのテーマ内のフォルダにアップロードすると固定ページ編集画面のページ属性にテンプレートのプルダウン項目が現れテンプレートを選択できるようになります。
選択後に、公開または更新して完了です。
補足
投稿(シングル)ページは、プラグインを使わないと出来ないっぽい感じでした。